CG2013 09

CG2013 09

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  1 Graphics withProcessing 2013-09 投影変換と隠面消去 http://vilab.org 塩澤秀和
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  2006-2013 H. SHIOZAWAhttp://vilab.org 2 9.1 投影変換（p.32） ビューイングパイプライン平行投影 透視投影 投影面 投影面 視点 3次元頂点情報 （ローカル座標系） モデルビュー変換 （→視点座標系） 投影変換 （→正規化視体積） ビューポート変換 （→画面座標系） 2次元描画 モデリング変換 （→ワールド座標系） ビューイング変換 （→視点座標系）
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  2006-2013 H. SHIOZAWAhttp://vilab.org 3 9.2 透視投影（p.35） 透視投影  視体積（ビューボリューム）  画角（視野角） ⇒ 見える範囲  画角大＝広角，画角小＝望遠  透視投影の視体積は四角錘台  正規化視体積  各座標の値を-1～+1に正規化  四角錐台→ 立方体  空間が歪み，視点から遠いもの ほど大きく縮む⇒ 遠近感  z座標は0～1にする方式もある x (-1,-1,+1) (+1,+1,-1) (+1,+1,+1) (-1,-1,-1) 座標系の取り方やz座標の計算 方法はOpenGL, DirectXなど システムによって若干異なる (-kx,-ky,-n) x z y 視線 視点 （原点） (kx,ky,-n) z=-f 画角（視野角）
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  2006-2013 H. SHIOZAWAhttp://vilab.org 4 9.3 透視投影の計算（p.36参考） 視体積の正規化 x n x z n :  :  （y軸も同様） n n x x n n     , x,y座標を-1～+1の範囲に収める n    p  y x n n   p  x z ( f  n )  2 fn z p   z f n ( )   z k y y (x, z) x（またはy） (xn, -n) O -n -f z座標も，-1～+1の範囲に収める z=-n のときzp=+1.0 z=-f のときzp= -1.0 三角形の相似より（z<0に注意） z y y z    z k k x x x OpenGL/Processingの計算式⇒ （教科書の方式は，0.0～1.0） kx z -kx z
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  2006-2013 H. SHIOZAWAhttp://vilab.org     5 9.4 透視投影行列（p.36参考）  同次座標で表現 透視投影行列  OpenGL/Processingの方式         0 0 0 n n 0 0 0 f  n          p  x y p  2 0 0 z p proj proj view P  M P  ここまでの座標変換の合成                      fn             x y 1 0 0 1 0 z f n f n k k w y x p                p  p x y  p             p p p p z w x y z    x x w p p p    y y w p p p   z z w p p p     f n n p w z n fn f n z  f n z y k x y k x p y p x p          2 proj proj view local P M M M P model  9.3の式を同次座標で表す このときw'p = -z とすると便利 w'pに視点からの 奥行情報が残る
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  2006-2013 H. SHIOZAWAhttp://vilab.org 6 60° 画面の表面 視点 d  H 3 2 n  d 10 H  height f  d 10 9.5 透視投影関数  perspective(fov, aspect, n, f)  ただし，すべての引数はゼロ以外  aspectは，floatで計算すること  バージョン1.x ⇒ OPENGLが正確 W H 透視投影関数 n f aspect=W/H fov 画角 （視野角） 視体積の縦横比 前方・後方クリッピ 視点ング面までの距離  Processingのデフォルト設定  perspective()を呼ばない場合  または，引数なしで呼んだ場合  画角（視野角） = 60°（π / 3）  aspect = width / height
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  2006-2013 H. SHIOZAWAhttp://vilab.org 7 9.6 ビューポート変換とクリッピング ビューポート変換（p.42）  正規化視体積  デバイス座標系 3次元クリッピング（p.44）  線分のクリッピング  コーエン・サザランド法（4.6）  z座標を加えた6ビットコード  ポリゴンのクリッピング  ポリゴンの形状が変わるので， 分割処理等が必要になる  特に三角形しか扱えない場合 x (-1,-1,+1) (+1,+1,-1) (0,0) 画面サイズに 引き伸ばす (width, height) ポリゴン 正規化 視体積
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  2006-2013 H. SHIOZAWAhttp://vilab.org 8 9.7 隠面消去（1） 隠面消去（隠線・隠面処理）  隠面消去とは  他の物体などに隠れて見えない 物体（の全部または一部）を描 画しない処理  弱点を補い合ういくつかの手法 を組み合わせることもある  奥行きソート法（p.102）  ポリゴンをz座標（視点座標）で 並び替え，遠くから順に描画  細長いポリゴンで問題が生じる  バックフェースカリング（p.100）  ポリゴンに表裏を設定し，裏側を 向いているポリゴンを描画しない  表裏はポリゴン作成時の頂点の 順序（右回り・左回り）で指定  各凸多面体での隠面消去 裏 表 裏 表 裏 表向き 1 2 3 4 5 裏向き 2 1 3 4 5 z 1 2 3 4
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  2006-2013 H. SHIOZAWAhttp://vilab.org 9 9.8 隠面消去（2）  Zバッファ法（p.107）  画面上の全ピクセルにz座標を 持たせ，1点1点描画するときに 遠近関係をチェックする  単純＆高速⇒ ハードウェア化  半透明の重なりの処理に難点  スキャンライン法（p.105）  ピクセル横1行（スキャンライン） ごとにポリゴンの断面の重なりを 数学的に計算し，描画する  計算は複雑だが，使用メモリが 少ない -∞ -50 -60 -60 Zバッファ 視線 視体積の断面 -60 -∞ -50 -50 -∞ 視点 ピクセル 視体積 視点
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  2006-2013 H. SHIOZAWAhttp://vilab.org 10 9.9 演習課題 課題 問1) 9.10のプログラムに適切な処 理を補って，実行してみなさい  バージョン1.xならOPENGLで 1. 紙飛行機が遠くから手前に近づ いてきて，カメラの横を飛び去っ ていくようにしなさい  飛び去ったら，元の位置に戻っ て繰り返すようにしなさい  ヒント： translate 2. カメラの向きを紙飛行機をずっと 追跡するようにしなさい  ヒント： camera 3. マウスのボタンでカメラを望遠に 切り替えられるようにしなさい  ヒント： perspective 問2) 下図は投影変換の原理を示し たものである（ウィンドウサイズは 200×200，画角は60°とする） 1. P’のz座標s を求めなさい 2. 視点座標系で(0, 100, -300) に変換された点Pが，投影面上に 写像される座標P'を求めなさい  次回，A4レポート用紙で提出 y 100 O z P' 60° s P(0, 100, -300) -300 投影面＝ウィンドウ -100
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  2006-2013 H. SHIOZAWAhttp://vilab.org 11 9.10 演習課題（続き） void draw() { background(50, 50, 100); // 画角の設定 perspective(PI/3, (float) width / height, 10, 10000); // カメラの位置と撮影目標の設定 camera(-150, -500, 1500, 0, 0, 0, 0, 1, 0) ; // 照明の光を上からに変更 pushMatrix(); rotateX(PI/2); lights(); popMatrix(); fill(255); noStroke(); pushMatrix(); translate(0, -300, 1200); paperplane(); popMatrix(); fill(0, 50, 0); noStroke(); for (int i = -10; i <= 10; i++) { for (int j = -10; j <= 10; j++) { pushMatrix(); translate(i*200, 0, j*200); box(180, 10, 180); popMatrix(); } } } // 紙飛行機のモデル void paperplane() { beginShape(TRIANGLE_FAN); vertex(0, 0, 0); vertex(-30, 5, -50); vertex(-5, 0, -50); vertex(0, 20, -50); vertex(5, 0, -50); vertex(30, 5, -50); endShape(); }
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  2006-2013 H. SHIOZAWAhttp://vilab.org 12 9.11 参考：平行投影（p.37） 平行投影（直交投影）  視体積（ビューボリューム）  視体積＝「見える領域」  平行投影の視体積は直方体 平行投影関数  ortho(xmin, xmax, ymin, ymax, zmin, zmax)  正規化視体積  各座標の値を-1～+1に正規化  直方体→ 立方体  z座標は0～1にする方式もある  計算式 xmin xmax ymin ymax zmin zmax (-1,-1,-1) x (-1,-1,+1) (+1,+1,-1) (+1,+1,+1) x x x 2  (  ) max min xp  x x max min  y, z も同様（教科書はzは0～1）
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  2006-2013 H. SHIOZAWAhttp://vilab.org 13 9.12 参考：平行投影行列（p.37参考）  平行投影の計算 xmax-xmin x 2 xp  変換行列による表現 min x  x x x max min x x x 2  (  ) max min x  x max min max min x x max min 2 x max min 2 1 x x x x xp                                           x  x max min y  y max min z  z max min   0 0 0 2    2    2               x y 1 0 0 0 0 0 0 1 x y p p 1 max min max min max min max min max min max min z z z z z y y y y x x x x z p 視点 座標 正規化 視体積 の座標 y座標， z座標も 同様 xmin xmax -1 +1 視点座標 正規化 視体積