視野変換2

視野変換2

• 1.
  透視変換 (Frus) Frustum Version
• 2.
  視錐台の導入 • 視錐台…ワールド座標系において、描画 対象としての空間 視錐台の空間 視錐台の外は、描画対象外
• 3.
  視錐台の構成 遠面 近面 ( 投影面) 基準面 遠面、近面 ( 投影 ) は任意に設定可能。 しかし、近面は遠面より近くなくてはならない 基準面より、手前に近面 ( 投影面 ) を置くことも可能 視錐台の角度、位置によって、大きさが確定する（後スライド）
• 4.
  視錐台決定の数式 角度 α により、e が求まる。 Aspect 比により、 β が決定 -1 y アスペクト比 =y/x=as 基準面 1 -as e 基準面 x β/2 α/2 as e z z y x e=1/tan(α/2) β=2*Inverse(tan(as/e))
• 5.
  近面 ( 投影面) の座標 投影面までの距離 (z 方向 ) がでれば、投影面のサイズが割り出せる -x=n/e -1 e n x z この場合は近面 ( 投影面 ) が基準面より近くにある場合、 だが、 基準面より遠くにあってもこの関係は変わらない x=+n/e y=+an/e x=-n/e y= -an/e
• 6.
  同次空間変換 ２ (-1 ～1) 遠面 ２ ２ 近面 ( 投影面 ) 視錐台の空間 同次空間 視錐台から、立方体の空間に写像 ( 変換 ) する 立方体になると、クリッピングしやすい。 その範囲は -1 ～１である。 それには、近面の x,y,z 座標が必要である。 ( 前ページに求め方記載 )
• 7.
  射影の方法 z= －∞ 右手系座標 遠面 n,f は、座標値でなくて 視錐台までの距離であることに注意 また、Pz は , 右手系であれば、 0<Pz<-∞ にある 近面 ( 投影面 ) f(far までの距離 ) (Px,Py,Pz,1) n(near までの距離 ) y z x 投影された座標値は x= - nPx/Pz y= - nPy/Pz 注意！ 座標系が左手系の場合、 x= nPx/Pz y= nPy/Pz 　重要式１ となる
• 8.
  具体的な同次空間手法 (x,y) l=left-x r=right-x b=bottom-x t=top-x (l,t,n) (l,b,n) n,f は、 座標値でなくて 視錐台まで の距離である ことに注意 (l,r,b,tは座標値 ) 視錐台 ( カメラ、視野空間 ) の範囲を -1 ～１の空間に写像したい。 そのためには、どうすればいいのか？ Ex) x 軸 ( 視錐台は右手系 ) (x-l) (r,t,n) (r,b,n) 同次空間 ２ (-1 ～ 1) (x,y,z) (r,b,f) (-1,t,n) X の縮小率 ( 拡大率 ) は ratiox ={1-(-1)}/(r-l) =2/(r-l) x = (x-l)*ratiox+(-1) = 2(x-l)(r-l)-1 同様に y に対しても、 ratioy =2/(t-b) y = (y-b)*ratioy+(-1) = 2(y-b)(t-b)-1 (r,b,n) (1,t,n) 重要式２
• 9.
  具体的な同次空間手法 (z) 同時座標が右手系の場合、 -f<Pz<-n を満たす必要 (左手系 :n<Pz<f) z’=A/z+B 重要式３ を式としてとる。 -1 = -(A / n) +B 1 = - (A / f ) +B n,f は座標値までの距離 ( 左手系 : -1=A/n+b) ( 左手系 : 1=A/f+b)         A,B を代入操作で解くと、 右手系 2fn a A f n f n b B f n 左手系 2fn 今回の課題！  f n Mathematica を f n b 使っても構いません f n a
• 10.
  同次空間の座標決定 - 右手系 x’=2(x-l)(r-l)-1 y’=2(y-b)(t-b)-1 z’=A/z+B    2fn f n f n b B f n A a x= nPx/Pz y= nPy/Pz z= Pz 代入すると、 2( x − l ) − ( r − l ) 2 x − (r + l ) = r −l r −l 2n Px r + l = (− ) − r − l Pz r − l 2( y − b) − (t − b) 2 x − (t + b) y' = = t −b t −b 2n Py t + b = (− ) − t − b Pz t − b x,y,z は、視野空間での点の座標値 x’,y’,z’ は同次空間での座標値 x' = 2nf 1 f ( )+ f − n Pz f 2nf 1 =− (− ) + f − n Pz z' = 両辺を -Pz 倍する (-Pz 除算を消す ) +n −n f +n f − n 上記に合わせ、 Pz の項にマイナスを置く 2n r +l Px + Pz r −l r −l 2n t +b − y ' Pz = Py + Pz t −b t −b 2nf f +n − z ' Pz = − − Pz f −n f −n − x' Pz = 2n r +l Px + Pz r −l r −l 2n t +b − y ' Pz = Py + Pz t −b t −b 2nf f +n − z ' Pz = − − Pz f −n f −n − x' Pz =  2n  − x' Pz   r − l − y ' Pz    = 0  − z ' Pz      0  1    0  0 2n t −b 0 0 r +l r −l t +b t −b f +n − f −n 0    Px    0   Py   2nf   Pz    − f − n  1  0   0 ここを -1 にすれば、 -Pz の w 除算  2n  x'   r − l  y '   = 0  z '     0 1   0  0 2n t −b 0 0 r +l r −l t +b t −b f +n − f −n −1    Px    0   Py   2nf   Pz    − f − n  1  0   0
• 11.
  同次空間の座標決定 - 左手系 課題です
• 12.
  まとめ • パースペクティブ変換をした後は、パースペクティブコ レクションを行う必要がある  2n x'  r − l   y '   = 0  z '     0 1   0  0 2n t −b 0 0 r +l r −l t +b t −b f +n − f −n −1    Px    0   Py   2nf   Pz    − f − n  1  0   0 • 上記式により、同次空間へ行列変換可能。しかし、 n,f は視野空間原点からの距離、 r,l,t,p は座標 • 同次座標は、ｘ、ｙ、ｚに対し、 -1 ～ 1 の範囲をとる • -1,1 を超えた座標は Clipping する • 上記行列は視野空間が右手系のみ可能であることに注意