Vektor er i matematikk en størrelse som har både lengde (måltall) og retning. I fysikk brukes vektorer for å beskrive for eksempel hastighet, akselerasjon og kraft.
vektor (matematikk)
Vektorer brukes mye i fysikk for å representere blant annet krefter, hastighet og akselerasjon. Figuren viser en kasse som sklir ned et skråplan. Kreftene som virker på kassen er gravitasjonskraften \(\vec{G}\), normalkraften \(\vec{N}\) og friksjonskraften \(\vec{R}\). Hver kraft representeres med en pil som peker i den retningen kraften virker, og der lengden angir størrelsen til kraften.
Lengde og retning
To vektorer med samme retning og forskjellig størrelse.
Tre vektorer med samme størrelse og forskjellig retning.
En vektor som har retning 30° opp fra horisontalplanet.
Siden en vektor har både lengde og retning, representeres den geometrisk som en rett linje med en pil i den ene enden.
Lengden til pilen angir vektorens størrelse. Hvis størrelsen til en vektor er dobbelt så stor som en annen vektor, tegnes pilen dobbelt så lang.
Retningen til pilen forteller hvilken retning vektoren peker. Retningen kan uttrykkes med en vinkel som måles fra en referanseretning (for eksempel \(x\)-retningen) og mot klokken.
Notasjon
En vektor fra punkt \(A\) til punkt \(B\) kalles \(\overrightarrow{AB}\).
En vektor skrives vanligvis som en bokstav med en pil over, for eksempel \(\vec{v}\) eller \(\vec{F}\).
Hvis vektoren går fra punkt \(A\) til punkt \(B\), kan vektoren skrives som \(\overrightarrow{AB}\).
Noen fagfelt bruker fet skrift eller en strek over bokstaven som symbol på vektorer, for eksempel \(\mathbf{v}\) eller \(\overline{v}\).
Komponentform
Vektoren \(\vec{v} = [4,3]\) har lengde 4 i \(x\)-retning og lengde 3 i \(y\)-retning. Lengden av vektoren er 5, og vinkelen med \(x\)-aksen er cirka 37 grader:
\[ \begin{aligned} |\vec{v}| &= \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 \\ \theta &= \tan^{-1} \left( \frac{3}{4} \right) \approx 37^{\circ} \end{aligned} \]
En kraft på 40 Newton danner en vinkel på 30 grader med horisontalplanet. Komponenten horisontalt er ca. 35 Newton og komponenten vertikalt er 20 Newton:
\[ \begin{aligned} F_x &= 40 \text{ N} \cos(30^{\circ}) \approx 35 \text{ N} \\ F_y &= 40 \text{ N} \sin(30^{\circ}) = 20 \text{ N} \end{aligned} \]
En vektor kan skrives ved hjelp av sine komponenter. I fysikk brukes komponentform mye fordi krefter og bevegelser må deles opp i bidrag langs hver akse i et koordinatsystem.
Vektorer i planet
Vektorer i to dimensjoner har to komponenter:
\[\vec{v} = [a,b]\]
Komponentene forteller hvor lang vektoren er i \(x\)- og \(y\)-retning i koordinatsystemet.
Hvis komponentene er kjent, kan lengden beregnes ved hjelp av Pytagoras' setning:
\[|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2}\]
og vinkelen med \(x\)-aksen kan beregnes ved hjelp av tangensfunksjonen:
\[\tan(\theta) = \frac{b}{a} \quad \Rightarrow \quad \theta = \tan^{-1} \left(\frac{b}{a}\right)\]
Hvis lengde og retning er kjent, kan komponentene beregnes ved hjelp av sinusfunksjonen og cosinusfunksjonen:
\[\begin{aligned} \cos(\theta) = \frac{a}{|\vec{v}|} \quad \Rightarrow \quad a = |\vec{v}| \cos(\theta) \\ \sin(\theta) = \frac{b}{|\vec{v}|} \quad \Rightarrow \quad b = |\vec{v}| \sin (\theta) \end{aligned} \]
Vektorer i rommet
Vektorer i rommet har tre komponenter:
\[\vec{v} = [a,b,c]\]
Komponentene forteller hvor lang vektoren er i \(x\)-, \(y\)- og \(z\)-retning i koordinatsystemet.
Vektoren \(\vec{v} = [2,3,6]\) har lengde 2 i \(x\)-retning, lengde 3 i \(y\)-retning og lengde 6 i \(z\)-retning. Lengden av vektoren kan beregnes ved hjelp av den tredimensjonale versjonen av Pytagoras' setning:
\[|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{49} = 7\]
Vektorer i \(n\)-dimensjonale rom
Vektorer i \(n\)-dimensjonale rom har \(n\) komponenter:
\[\vec{v} = \left[v_1,v_2,v_3, \cdots, v_n \right]\]
Komponentene forteller hvor lang vektoren er langs \(n\) akser som står vinkelrett på hverandre i et kartesisk koordinatsystem.
En vektor kan derfor defineres, uavhengig av fysikk og geometri, som et tallmultippel \(\vec{v}=\left[v_1,v_2,v_3 \cdots, v_n \right]\) hvor \(v_1, v_2, v_3, \cdots, v_n\) er tall som angir størrelsen av vektorens projeksjoner langs de \(n\) koordinataksene.
Enhetsvektorer
Enhetsvektorer er vektorer som har lengde én.
Enhetsvektorer i planet
Enhetsvektorene \(\vec{i}\) og \(\vec{j}\) i planet. \(\vec{i}\) peker i \(x\)-retning og \(\vec{j}\) peker i \(y\)-retning. Begge har lengde én.
I to dimensjoner er det to standard enhetsvektorer:
\[\vec{i} = [1,0], \quad \vec{j} = [0,1]\]
\(\vec{i}\) har lengde én og peker langs positiv \(x\)-akse. \(\vec{j}\) har lengde én og peker langs positiv \(y\)-akse.
Ved hjelp av disse to enhetsvektorene, kan vi beskrive alle vektorer i planet. For eksempel:
\[\vec{v} = [4,3] = 4\vec{i} + 3 \vec{j}\]
Enhetsvektorer i rommet
Enhetsvektorene \(\vec{i}\) , \(\vec{j}\) og \(\vec{k}\) i rommet. \(\vec{i}\) peker i \(x\)-retning, \(\vec{j}\) peker i \(y\)-retning og \(\vec{k}\) peker i \(z\)-retning. Alle har lengde én.
I to dimensjoner er det to standard enhetsvektorer:
\[\vec{i} = [1,0,0], \quad \vec{j} = [0,1,0], \quad \vec{k} = [0,0,1]\]
\(\vec{i}\) har lengde én og peker langs positiv \(x\)-akse. \(\vec{j}\) har lengde én og peker langs positiv \(y\)-akse. Og \(\vec{k}\) har lengde én og peker langs positiv \(k\)-akse. Til sammen danner de et høyrehåndssystem.
Ved hjelp av disse tre enhetsvektorene, kan alle vektorer i rommet beskrives. For eksempel:
\[\vec{v} = [2,3,4] = 2\vec{i} + 3 \vec{j} + 4 \vec{k}\]
Enhetsvektorer generelt
Generelt har en vektor \(\vec{v}\) lengden \(|\vec{v}|\). Når vektoren deles på lengden er resultatet en vektor som har lengde én og peker i samme retning som \(\vec{v}\). Enhetsvektoren i retningen til \(\vec{v}\) er derfor:
\[ \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\]
Enhetsvektoren i retningen til \(\vec{v} = [3,4]\) er:
\[ \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{[3,4]}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{[3,4]}{5} = \left[\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right]\]
Vektorregning
Vektorregningen tar for seg hvordan man regner med vektorer.
Vektoraddisjon
En enkel måte å forstå vektoraddisjon er ved å tegne vektorene. Man tegner først den ene vektoren. Så plasseres den andre vektoren slik at den starter der den første slutter. Summen av de to vektorene er fra starten av den første vektoren til slutten av den andre vektoren. Figuren viser to vektorer, \(\vec{a} = [4,3]\) og \(\vec{b}=[-1,2]\). Uansett hvilken av dem som tegnes først, blir summen \(\vec{a}+\vec{b}\) den samme.
Når to vektorer summeres, legges komponentene sammen:
\[[a,b] + [c,d] = [a + c,b+d]\]
For eksempel:
\[[4,3] + [-1,2] = [4 \:– 1, 3 + 2] = [3,5]\]
Skalarmultiplikasjon
En konstant multiplisert med en vektor \(\vec{v}\) gir en ny vektor som har samme (eller motsatt) retning som \(\vec{v}\), men lengden er endret:
\[k[a,b] = [ka,kb]\]
For eksempel:
\[2[3,4] = [6,8]\]
Hvis konstanten er negativ, skifter vektoren retning:
\[-2[3,4] = [-6,-8]\]
Vektorer i lineær algebra
I lineær algebra bruker man et mer generalisert vektorbegrep der hvert element i et lineært rom (vektorrom) kalles en vektor. Både matriser og tensorer kan oppfattes som utvidelser av begrepet vektor.
Les mer i Store norske leksikon
Kommentarer
Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.
Du må være logget inn for å kommentere.