Sinus er i matematikk en trigonometrisk funksjon som blant annet brukes til å beskrive trekanter, bølger, svingninger og periodiske fenomener. Det matematiske symbolet for sinus er \(\sin\).
sinus (matematikk)
Sinus til vinkelen \(v\) er lengden til side \(b\) delt på lengden til side \(c\). \[\sin(v) = \frac{b}{c}\] Side \(c\) kalles hypotenusen og side \(b\) kalles motstående katet fordi den er en katet som står på motsatt side av vinkel \(v\).
Sinus i trekanter
Sinus kan brukes til å regne ut hvor langt opp en stige rekker. Stigen står lent opp mot en husvegg. Stigen, veggen og bakken danner en rettvinklet trekant der stigen er hypotenusen. Sinus til vinkelen mellom stigen og bakken er forholdet mellom hvor høyt stigen rekker på veggen og lengden til stigen:
\[\sin(v) = \frac{h}{L}\]
som gir et uttrykk for høyden:
\[\text{h} = L \cdot \sin(v)\]
Hvis vinkelen er \(v = 60^{\circ}\) og stigen er \(L = 3,0 \text{ m}\), er høyden:
\[h = 3,0 \text{ m} \cdot \sin(60^{\circ}) \approx 2,6 \text{ m}\]
I en rettvinklet trekant er hypotenusen den lengste siden i trekanten. De to andre sidene i en rettvinklet trekant kalles kateter. Motstående katet er den siden i trekanten som ligger på motsatt side av vinkelen.
Sinus til en vinkel i en rettvinklet trekant er definert som lengden til vinkelens motstående katet delt på lengden til hypotenusen.
\[\sin(v) = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}}\]
Siden katetene ikke kan være lengre enn hypotenusen, må vinkelen \(v\) være mellom 0o og 90o, og sinus til vinkelen må være mellom null og en.
Eksakte verdier av sinus
Alle vinkler kan måles i enten radianer eller grader. Sinus av noen vinkler har eksakte verdier.
| \(v\) (grader) | \(v\) (radianer) | \(\sin(v)\) |
|---|---|---|
| \(0^{\circ}\) | \(0\) | \(0\) |
| \(30^{\circ}\) | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(45^{\circ}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) |
| \(60^{\circ}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) |
| \(90^{\circ}\) | \(\frac{\pi}{2}\) | \(1\) |
I enhetssirkelen er radianer lengden langs sirkelbuen.
Før kalkulatorene ble vanlig, var eksakte verdier av sinus helt nødvendig for å regne ut sinusverdien til vinkler. Selv om man i dag har kalkulatorer, er det lurt å bruke eksakte verdier når man kan, for å få helt nøyaktige resultat og unngå avrundingsfeil.
Sinus i enhetssirkelen
Enhetssirkelen viser at flere vinkler kan gi samme sinusverdi fordi høyden er den samme. For eksempel er \(\sin(30^{\circ}) = \sin(150^{\circ}) = 0,5\). Generelt er: \[\sin(v) = \sin(180^{\circ} - v)\]
Dersom vinkelen øker med 360 grader, får sinusverdien samme verdi fordi punktet på enhetssirkelen blir akkurat det samme: \[\sin(v + 360^{\circ} \cdot n) = \sin(v)\]
der \(n\) er et positivt eller negativt heltall.
Enhetssirkelen kan brukes til å finne sinus til alle vinkler, inkludert vinkler som er mer enn 90o og vinkler som er negative.
Vinkelen i enhetssirkelen måles fra den positive horisontale aksen og mot klokken til man møter en linje som går fra origo til et punkt på enhetssirkelen. Sinus til denne vinkelen er definert som den vertikale koordinaten til punktet.
Hvis for eksempel vinkelen er \(30^{\circ}\), er høyden til enhetssirkelen 0,5. Det vil si at sinus til 30 grader er lik 0,5. Dette skrives \(\text{sin} (30^{\circ}) = 0,5\).
- Les mer om enhetssirkelen
Enhetssirkelen har radius én. En rettvinklet trekant i enhetssirkelen får dermed hypotenus lik én. Sinus til vinkel \(v\) er høyden \(b\) delt på lengden til hypotenusen, som er én:\[\sin(v) = \frac{b}{1} = b\] Derfor kan vi lese av sinusverdien på \(y\)-aksen.
Sinuskurven
Sinusfunksjonen \(f(x) = \sin(x)\) hvor vinkelen \(x\) kan måles enten i radianer eller i grader. Legg merke til at flere vinkler har samme sinus-verdi, for eksempel er \(\sin(90^{\circ}) = \sin(450^{\circ})\) og \(\sin(30^{\circ}) = \sin(150^{\circ})\).
Kurven til funksjonen sinus er \(f(x) = \sin(x)\). Den kalles sinuskurven.
Sinuskurven er periodisk fordi den repeterer seg selv flere ganger når \(x\) øker.
For å tegne sinuskurven markeres vinkelen langs den horisontale aksen og sinus til vinkelen langs den vertikale aksen i et koordinatsystem.
- Les mer om sinuskurven
Når vinkelen øker i enhetssirkelen, endres høyden, det vil si sinus-verdien til vinkelen. Dermed kan vi lage en funksjon der vinkelen er på den horisontale aksen og sinus-verdien er på den vertikale aksen.
Sinussetningen
En trekant med vinkler \(A\), \(B\) og \(C\) og sider \(a\), \(b\) og \(c\). Side \(a\) er motstående side til vinkel \(A\), side \(b\) er motstående side til vinkel \(B\) og side \(c\) er motstående side til vinkel \(C\).
Sinussetningen sier at sinus til en vinkel i en trekant delt på lengden til motstående side er det samme uansett hvilken vinkel som velges i trekanten.
Med symboler kan dette uttrykkes slik: Hvis \(A\), \(B\), og \(C\) er vinklene i en trekant, og \(a\), \(b\), og \(c\) er de motstående sidene til hver av disse vinklene, så sier sinussetningen: \[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}.\]
- Les mer om sinussetningen
Sinus som en rekke
Illustrasjonen viser grafen til \(y = \sin(x)\) og grafen til \(y = x\). Når \(x\)-verdiene er nær null, er disse to grafene veldig like. For små vinkler er derfor \(\sin(x) \approx x\) en helt grei tilnærming. Når \(x\) er lengre vekk fra null, øker forskjellen mellom grafene.
Sinusfunksjonen kan skrives som en matematisk rekke. Jo flere ledd som tas med i rekken, jo mer nøyaktig blir resultatet.
Sinus som en rekke skrives slik:
\[\sin(x) = x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – \frac{x^7}{7!} + ...\]
Denne formelen gjelder bare når vinkelen måles i radianer. Utropstegnet betyr fakultet, det vil si \(5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\).
Når kalkulatoren skal regne ut en sinusverdi, er det denne formelen den bruker. Hvis vi for eksempel slår inn sinus til \(\pi/8\) på kalkulatoren får vi:
\[\sin\left( \frac{\pi}{8}\right) = 0,3826834324 \dots\]
Kalkulatoren bruker mange nok ledd i rekken til å kunne gi de desimalene den viser. Man kan selv finne et estimat ved å bruke for eksempel tre ledd i rekken:
\[\sin\left( \frac{\pi}{8}\right) \approx \frac{\pi}{8} – \frac{\left(\frac{\pi}{8}\right)^3}{3!} + \frac{\left(\frac{\pi}{8}\right)^5}{5!} = 0,3826837175 \cdots \]
Sammenlignet med den nøyaktige verdien, gir tre ledd samme svar med fem desimalers nøyaktighet. Fire ledd gir ti desimalers nøyaktighet som er mer enn godt nok for de aller fleste bruksområder.
For små vinkler er sinus til vinkelen nesten det samme tallet som vinkelen selv. Denne tilnærmingen brukes mye innen fysikk, optikk og teknologi for å forenkle ligningene.
- Les mer om rekker og Taylors formel
Invers sinus
Sinus invers kan brukes til å regne ut hva vinkelen må være for at en stige skal rekke opp til et bestemt sted på veggen. Stigen står lent opp mot en husvegg. Stigen, veggen og bakken danner en rettvinklet trekant der stigen er hypotenusen. Sinus til vinkelen mellom stigen og bakken er forholdet mellom hvor høyt stigen rekker på veggen og lengden til stigen:
\[\sin(v) = \frac{h}{L}\]
Den inverse funksjonen kan gi oss vinkelen:
\[v = \sin^{-1} \left( \frac{h}{L} \right)\]
Hvis stigen er \(L = 3,0 \text{ m}\) lang og vi vil at den skal nå \(h = 2,5 \text{ m}\) opp på veggen, må vinkelen være ca. 56 grader fordi:
\[v = \sin^{-1} \left( \frac{2,5 \text{ m}}{3,0 \text{ m}} \right) \approx 56^{\circ}\]
Den inverse funksjonen til sinus skrives på flere måter, enten \(\sin^{-1}(x)\), \(\mathrm{asin} (x)\) eller \(\arcsin(x)\).
For å definere en invers funksjon av \(\sin(x)\), må definisjonsmengden begrenses til \(x\)-verdier som ikke gir samme sinus-verdi, det vil si når \(-90^{\circ} \leq x \leq 90^{\circ} \).
Den inverse funksjonen til \(f(x) = \sin(x)\) når\(-90^{\circ} \leq x \leq 90^{\circ} \) er:
\[f^{-1}(x) = \sin^{-1}(x)\]
Hvis man for eksempel vil finne den \(x\)-verdien som gir at \(\sin(x) = 0,5\) på intervallet \(-90^{\circ} \leq x \leq 90^{\circ} \), kan man bruke den inverse funksjonen:
\[f^{-1}(0,5) = \sin^{-1}(0,5) = 30^{\circ}\]
- Les mer om inverse trigonometriske funksjoner
Andre trigonometriske funksjoner
\[\begin{aligned} \sin(v) &= \frac{b}{c} \\ \cos(v) &= \frac{a}{c} \\ \tan(v) &= \frac{b}{a} \end{aligned}\]
Side \(a\) kalles hosliggende katet siden den ligger inntil vinkelen \(v\), \(b\) kalles motstående katet siden den ligger motsatt vinkelen \(v\) og \(c\) kalles hypotenusen.
De tre vanligste trigonometriske funksjonene er sinus, cosinus og tangens:
\[ \begin{aligned} \sin(v) &= \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}} \\ \cos(v) &= \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenus}} \\ \tan(v) &= \frac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}} \end{aligned}\]
Les mer i Store norske leksikon
Kommentarer
Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.
Du må være logget inn for å kommentere.