Estabilidad relativa

SISTEMAS DE CONTROL

ESTABILIDAD RELATIVA

 MARCO A. HINOJOSA T.
 JULIO C. SOTOMAYOR

El sistema 2 es más estable relativamente que el sistema 1

Criterio de estabilidad de Nyquist
 Al diseñar un sistema de control es necesario que sea estable y que
tenga una estabilidad relativa adecuada. En esta sección
demostraremos que la traza de Nyquist no solo indica si un sistema es
estable sino también el grado de estabilidad de un sistema estable
 Un sistema de control de retroalimentación simple como el
mostrado en la figura 1, es estable si su Ecuación Característica a
Lazo Cerrado, F(s) = 1 + G(s)H(s), no tiene ninguna raíz con parte real
positiva.

 FIGURA 1

 El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta
frecuencial a lazo abierto con la estabilidad a lazo cerrado;
basado en un teorema de la variable compleja que se
fundamenta en el mapeo de los contornos en el plano
complejo. Parte de los fundamentos que dan base al criterio
de estabilidad se nombrarán a continuación.
 Para una trayectoria cerrada y continua en el plano S, que no
pasa por ninguna singularidad, le corresponde una trayectoria
cerrada en el plano F(s).
 Si el contorno en el plano S (Γs ), encierra igual número de ceros
que polos de F(s), el contorno en F(s), (ΓF (s) ), no encerrará el
origen.
 Si el Γs encierra n polos de F(s), ΓF (s) rodea al origen n-veces
en sentido anti horario.
 Si el Γs encierra m ceros de F(s), ΓF (s) rodea al origen m-veces
en sentido horario

 Para este ejemplo, se tomarán dos contornos en el plano s
(Γs) y se realizaran las transformaciones de dichos
contornos utilizando F(s). Tanto los contornos, como sus
correspondientes transformaciones se muestran en las
figuras.

 El área encerrada está a la derecha del recorrido cuando se mueve en
sentido horario, por lo que en el primer caso el Γs encierra un polo y un
cero de F(s) y en el segundo caso, el Γs encierra un cero de F(s).
Como puede observarse, en el primer caso el ΓF (s), no encierra el
origen pues el número de ceros y polos de F(s) encerrados en el Γs
son iguales. En el segundo caso, el ΓF (s) encierra al origen una
vez, pues existe un cero de F(s) encerrado en el Γs .

Aplicación al análisis de la
estabilidad a lazo cerrado
 Para realizar un análisis de la estabilidad a lazo cerrado a partir
de la respuesta frecuencial a lazo abierto, utilizando el Teorema
del Mapeo, se deben tener las siguientes consideraciones:
 F(s) será la Ecuación Característica a Lazo Cerrado, es decir, F(s) =
1 + G(s)H(s)
 El Γs a utilizar será el semiplano derecho del plano S, tal como se
muestra en la figura 8.4
 Z = # ceros de lazo cerrado de F(s) en el semiplano derecho del
plano S
 P = # polos de G(s)⋅H(s) en el semiplano derecho del plano S
 N= Z - P el número de vueltas en sentido horario que ΓF( s ) le da al
origen

De manera que, para que el sistema sea estable, Z debe ser cero, lo que se
logra en los siguientes casos:
• Si P = 0 entonces N debe ser cero
• Si P ≠ 0 entonces N deber ser igual a -P.
De allí se desprende que, si se conocen los polos de lazo abierto (P) y los
encierros que da al origen el ΓF ( s ) (N), se puede saber si existen ceros
con parte real positiva (Z).

 Para particularizar la aplicación del criterio a un sistema de control
de retroalimentación simple, se propone lo siguiente:
 Definir F’(s) = F(s) – 1 = G(s)H(s)
 P’ y Z’ de F’(s) corresponden con los polos y ceros de lazo abierto
 La transformación sobre el Plano F’(s), se realiza tomando en cuenta
que el Γs no debe pasar por ningún polo o cero de F’(s)
 El encierro del origen por el ΓF(S) es equivalente a encerrar el punto (-
1,0) por el contorno ΓF’(S)
 El ΓF’(s) se conoce como el Diagrama de Nyquist.
 N’ corresponde al número de encierros que le da el ΓF’(s) al punto (-1,0)
 El valor de Z, ceros de la Ecuación característica a lazo cerrado, se
puede conocer a partir de N’ y de P, pues N’ = Z – P
 Si P = 0 entonces Z = N’ por lo tanto el ΓF’(s) no debe encerrar al punto
(-1,0) para que el sistema sea estable. En este caso, es suficiente
realizar la traza del Nyquist para s = jω y verificar si encierra al (-1,0), lo
cual equivale a realizar el diagrama polar de G(jω)H(jω).
 Si P ≠ 0 se tiene que el sistema a lazo abierto es inestable, pero a lazo
cerrado puede ser estable. En este caso, se hace necesario realizar el
Diagrama de Nyquist completo para conocer el valor de N’ y verificar la
estabilidad.
 Si ΓF’ (S) pasa por (-1,0) entonces los ceros de la Ecuación
Característica a Lazo Cerrado se encuentran sobre el eje jω y el sistema
a lazo cerrado será críticamente estable.

 Tramo 3
 Se representa sustituyendo s = - jω en G(s)H(s), equivalente
a una trayectoria simétrica, respecto al eje real, a la
trayectoria derivada en el tramo uno (figura 8.6).
 CONCLUSIÓN:
 Como P = 0 (el Γs no encierra ningún polo de G(s)H(s)) y N=
0 (el Diagrama de Nyquist no encierra el punto (-1,0)),
entonces Z = 0 siendo el sistema estable. Además, también
se puede concluir que será estable para cualquier ganancia
pues, a pesar que la ganancia aumenta nunca se encerrará
al punto (-1,0)

Márgenes de Ganancia y Fase
 En la figura se muestra las trazas polares de G(jw) para tres
valores diferentes de la ganancia K en lazo abierto. Para un
valor grande de la ganancia de K, el sistema es inestable.
Conforme la ganancia se decrementa hacia cierto valor de la
ganancia, el sistema esta al borde de la inestabilidad y
presenta oscilaciones sostenidas. Para un valor pequeño de
la ganancia K, el sistema es estable.
 Margen de Fase.- el margen de fase es la cantidad de
atrasos de fase adicional en la frecuencia de cruce de
ganancia requerida para llevar el sistema al borde de la
inestabilidad. La frecuencia de cruce de ganancia es la
frecuencia en la cual |G(jw)|, magnitud de la función de
transferencia de lazo abierto es unitaria.

EJEMPLO
 Obtenga los márgenes de fase y de ganancia del sistema de la figura
8-77 para los casos en los
 Que K=lO y K=lOO.

RESOLUCION:
Los márgenes de fase y de ganancia se obtienen con facilidad de las
trazas de Bode. La figura 8-78(a) contiene las trazas de Bode de la
función de transferencia en lazo abierto determinada con K = 10. Los
márgenes de fase y de ganancia para K = 10 son
Margen de fase = 21°, Margen de ganancia = 8 dB
Por tanto, la ganancia del sistema se incrementa en 8 dB antes de que
ocurra la inestabilidad.
Incrementar la ganancia de K = 10 a K = 100 mueve el eje 0 dB 20 dB
hacia abajo, como se aprecia en la figura 8-78(b). Los márgenes de fase
y de ganancia son
Margen de fase = -3O”, Margen de ganancia = -12 dB

 Por tanto, el sistema es estable para K = 10, pero inestable
para K = 100.
 Observe que uno de los aspectos convenientes del enfoque de
las trazas de Bode es la facilidad con la cual se evalúan los
efectos de los cambios de ganancia.
 Considere que, para obtener un desempeño satisfactorio,
debemos incrementar el margen de fase a30°- 60’. Para ello se
decrementa la ganancia K. Sin embargo, no es conveniente
decrementar K, dado que un valor pequeño de K producirá un
error grande para la entrada de la pendiente Esto sugiere que
puede ser necesario volver a dar forma a la curva de respuesta
en frecuencia en lazo abierto agregando una compensación.

 en donde

 Según lo obtenido mediante la ecuación (8-6), para 0≤ ξ ≤
0.707, el valor máximo de M ocurre en la frecuencia wr, en la
cual

 El ángulo Ɵ se define en la figura 8-80. La frecuencia wr es
la frecuencia de resonancia. En la frecuencia de resonancia,
el valor de Mes máximo y se obtiene a partir la ecuación (8-
7),que se reescribe como

 en donde M, se define como la magnitud del pico de
resonancia, valor que se relaciona con el amortiguamiento del
sistema.
 La magnitud del pico de resonancia proporciona un indicio de la
estabilidad relativa del sistema. Una magnitud del pico de
resonancia grande indica la presencia de un par de polos
dominantes en lazo cerrado con un factor de amortiguamiento
pequeño, lo cual produce una respuesta transitoria
inconveniente. En cambio, una magnitud del pico de resonancia
pequeña indica la ausencia de un par de polos dominantes en
lazo cerrado con un factor de amortiguamiento relativo
pequeño, lo que significa que el sistema está bien amortiguado.
 Recuerde que Mr es real solo si 5 < 0.707. Por tanto, no hay
una resonancia en lazo cerrado si 5 > 0.707. [El valor de M, es
unitario sólo si 5 > 0.707.Véase la ecuación (8-8).] Dado que en
un sistema físico es fácil medir los valores de M, y wr, éstos son
muy útiles para verificar que los análisis teórico y experimental
coincidan. Sin embargo, debe señalarse que, para problemas
prácticos de diseño, es más común especificar el margen de
fase y el margen de ganancia que la magnitud del pico de
resonancia para indicar el grado de amortiguamiento de un
sistema.

 http://web.usal.es/~sebas/TEORIA/TEMA7-
REGULACION.pdf
 http://prof.usb.ve/montbrun/PS2320nyquistversionvieja.pdf

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