Kvadratsetningene er tre viktige matematiske regler i algebra som gjør det lettere å regne med matematiske uttrykk som er opphøyd i andre potens. Slike uttrykk samles i parenteser og kalles kvadratuttrykk. Kvadratsetningene brukes til å løse matematiske ligninger, til å regne ut arealet av kvadrater og som hjelp til hoderegning.
kvadratsetningene
De tre kvadratsetningene
Første kvadratsetning
Andre kvadratsetning
Andre kvadratsetning forteller hvordan vi kan skrive differansen av to tall som skal ganges med seg selv:
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]
For eksempel er \( (x-3)^2 = x^2 – 6x + 9\).
Konjugatsetningen (tredje kvadratsetning)
Konjugatsetningen kalles også tredje kvadratsetning, men det er egentlig ikke en kvadratsetning siden den ikke inneholder et uttrykk ganget med seg selv. Konjugatsetningen ser på summen av to tall ganget med forskjellen mellom dem:
\[(a+b)(a-b) = a^2 – b^2\]
For eksempel er \( (x+3)(x-3) = x^2 – 9\).
De to tallene \((a-b)\) og \((a+b)\) kalles konjugerte fordi de er et par som hører sammen. Et annet eksempel på konjugerte tall er de to komplekse tallene \((x+iy)\) og \((x-iy)\).
Fullstendig kvadrat
Et polynom kalles i matematikk et fullstendig kvadrat dersom det kan skrives som et enklere uttrykk ganget med seg selv.
For eksempel er polynomet \( (x^2+6x+9) \) et fullstendig kvadrat fordi \( (x^2+6x+9)=(x+3)^2\). Det kan vi vise ved å bruke den første kvadratsetningen baklengs.
Bevis
Kvadratsetningene kan bevises matematisk ved å løse opp parentesene og regne ut uttrykkene.
Den første kvadratsetningen vises slik:
\[ (a+b)(a+b) = a(a+b) + b(a+b) = a^2+2ab+b^2 \]
Den andre kvadratsetningen vises slik:
\[ (a-b)(a-b) = a(a-b) – b(a-b) = a^2-2ab+b^2 \]
Og konjugatsetningen vises slik:
\[ (a+b)(a-b) = a(a-b) + b(a-b) = a^2-b^2 \]
Bruk
Løse ligninger
Kvadratsetningene brukes mye i algebra, særlig i bokstavregning.
Eksempel på en ligning som må løses ved hjelp av første kvadratsetning:
\[(x+3)^2 = x^2 – 3\]
Bruker første kvadratsetning på venstre side:
\[x^2 + 6x + 9 = x^2 – 3\]
Trekker fra \(x^2 + 9\) på begge sider:
\[6x = -12\]
Finner løsningen ved å dele begge sider på seks:
\[x = -\frac{12}{6} = -2\]
Areal av kvadrater
Kvadratsetningene kan brukes til å regne ut arealet av kvadrater.
Hvis vi har et kvadrat med sidekant \(a\) og legger til \(b\) på begge sidekanter, får vi et kvadrat med sidekanter \(a+b\) og areal \((a+b)^2\). For å regne ut arealet kan vi bruke første kvadratsetning.
Hvis vi har et kvadrat med sidekant \(a\) og trekker fra \(b\) på begge sidekanter, får vi et kvadrat med sidekanter \(a-b\) og areal \((a-b)^2\). For å regne ut arealet kan vi bruke andre kvadratsetning.
Illustrasjon av første kvadratsetning: Hvis vi har et kvadrat med sidekanter \(a\) og legger til \(b\) på begge sidekanter, får vi et kvadrat med sidekanter\((a+b)\) og areal \((a+b)^2\). Det kan vi regne ut ved å begynne med arealet med sidekanter \(a\) og areal \(a^2\). Deretter legger vi til arealet til to rektangler med sidekanter \(a\) og \(b\). Og til sist legger vi til arealet av et kvadrat med sidekanter \(b\) og areal \(b^2\).
Illustrasjon av andre kvadratsetning. Hvis vi har et kvadrat med sidekanter \(a\) og trekker fra \(b\) fra alle sidekanter, får vi et kvadrat med sidekanter \((a-b)\) og areal \((a-b)^2\). Vi kan regne ut arealet ved å begynne med et kvarat med sidekanter \(a\) og areal \(a^2\). Deretter trekker vi fra arealet til to rektangler med sidekanter \(a\) og \(b\). Siden vi nå har trukket fra arealet av et kvadrat med sidekanter \(b\) og areal \(b^2\) to ganger, legger vi det til igjen.
Kvadrattall
Kvadratsetningene kan brukes til å regne ut kvadrattall.
Hvis vi vil regne ut et tall ganget med seg selv, kan vi ta utgangspunkt i et tall vi allerede vet hva blir når vi ganger det med seg selv, og justere derfra. Resultatet blir det samme, men regnestykkene er ofte enklere underveis.
Hvis vi for eksempel ønsker å regne ut 322 og vet at 32 er to mer enn 30. I stedet for å regne ut 32 \(\cdot\) 32 direkte, kan vi bruke første kvadratsetning. Da regner vi først ut 302 = 900 og legger til 2 \(\cdot\) 30 \(\cdot\) 2 = 120 og 22 = 4:
\[32^2 = (30+2)^2 = 30^2 + 2 \cdot 30 \cdot 2 + 2^2 = 1024\]
Et annet eksempel er hvis vi ønsker å regne ut 972. Siden 97 ligger tre fra 100, kan vi bruke andre kvadratsetning i stedet for å regne ut 97 \(\cdot\) 97 direkte. Da regner vi først ut 1002 = 10 000 og trekker fra 2 \(\cdot\) 100 \(\cdot \) 3 = 600 før vi legger til 32 = 9:
\[97^2 = (100-3)^2 = 100^2 – 2 \cdot 100 \cdot 3 + 3^2 = 9409\]
Les mer i Store norske leksikon
Kommentarer
Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.
Du må være logget inn for å kommentere.