Algebra er en del av matematikken der bokstaver brukes til å uttrykke tall og matematiske sammenhenger. Algebra handler blant annet om ligninger og bokstavregning.
Algebra gjør det mulig å lage regler og formler som kan brukes i mange ulike situasjoner og ikke bare i ett enkelt regnestykke.
De matematiske uttrykkene i algebra inneholder variabler, som kan ha flere ulike verdier, og konstanter, for eksempel pi.
Ordet algebra stammer fra tittelen på den arabiske matematikeren Mohamed Ibn Musa Al-Khwarizmîs lærebok Algebra wal muqabala («Gjenopprettelse og forenkling» utgitt i år 820). Boken beskriver metoder for å forenkle matematiske ligninger.
Uttrykket \(x + 3\) betyr «et tall pluss 3». Hvis \(x\) er 4, blir summen 7. Hvis \(x\) er 10, blir summen 13. Det samme uttrykket kan brukes i flere regnestykker fordi det inneholder en ukjent. En slik ukjent størrelse kalles en variabel fordi den kan ha flere ulike verdier. Variabelen skrives vanligvis med en bokstav i stedet for et tall. I \(x + 3\) er altså \(x\) variabelen.
Ved hjelp av bokstaver kan matematiske formler vise hvordan ulike størrelser henger sammen.
For eksempel er arealet av en sirkel med radius \(r\) gitt i formelen \[A = \pi r^2\]. Hvis radius er 2 meter, settes \(r\) lik 2 meter i uttrykket for arealet. Hvis radius er 5 cm, settes \(r\) lik 5 cm i den samme formelen. Dermed kan den samme formelen brukes på alle sirkler uansett størrelse.
Hvis sirkelen har radius 2 meter, er arealet omtrent lik \(3,14 \times (2\text{ m})^2\), mens arealet av en sirkel med radius 5 cm er \(3,14 \times (5\text{ cm})^2\).
For hver verdi av radiusen må man gjøre en ny utregning, men ved hjelp av algebra og variabelen \(r\) er det nok med én generell formel for arealet.
En matematisk ligning inneholder to uttrykk som er like store. Ligningen \(x + 5 = 12\) betyr at summen av et ukjent tall \(x\) (variabelen) og tallet 5 er lik 12. For å finne variabelen, kan man tenke på ligningen som en balanse. Hvis man trekker fra 5 på begge sider, blir det fortsatt balanse, og ligningen gir at \(x = 7\).
Denne typen bokstavregning er en sentral del av algebra. Så lenge sammenhenger kan beskrives med symboler og regler, gir algebra en strukturert måte å løse praktiske problemer.
Algebra deles ofte i to hoveddeler: grunnleggende algebra og abstrakt algebra.
Grunnleggende algebra er regning med tall og ukjente variabler. Dette er nyttig, blant annet for å kunne lage generelle regler og formler, slik som arealet til en sirkel: \(A = \pi r^2\). Bokstaven \(r\) i denne formelen er en ukjent verdi, som man kan bytte ut med tallet som er radiusen til sirkelen man ønsker å regne ut arealet til.
\[1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{1}{2}n(n+1) \]
Abstrakt algebra generaliserer formler og regler fra grunnleggende algebra til abstrakte systemer og studerer systemene.
I abstrakt algebra kan elementene i et system være tall, men også andre typer matematiske objekter som funksjoner, transformasjoner eller matriser.
For eksempel gjelder den kommutative loven for addisjon
\[a + b = b + a\]
for blant annet tall, vektorer, matriser, polynomer og funksjoner. Hvis for eksempel \(a = x^2\) og \(b = 4x\), gir den kommutative loven at \(x^2 + 4x = 4x + x^2\). Andre operasjoner er derimot ikke kommutative. Et eksempel er matrisemultiplikasjon. For to vilkårlige matriser \(A\) og \(B\) gjelder generelt ikke at \(AB = BA\).
I abstrakt algebra undersøkes hvilke regler som gjelder i ulike systemer, og hvilke egenskaper systemene har til felles.
Torus er en «smultringformet» flate som kan beskrives ved hjelp av algebraiske ligninger. Torusen er et sentralt objekt i den matematiske grenen topologi der den brukes til å studere egenskaper til objekter med hull. Studiet av torusen viser hvordan metoder fra algebra kan brukes til å undersøke geometriske former.
Siden reglene i abstrakt algebra gjelder for mange ulike matematiske objekter, kan de samme reglene brukes i flere ulike sammenhenger.
Siden begynnelsen av 1900-tallet har algebra hatt særlig stor betydning for utvikling av geometri, nærmere bestemt algebraisk geometri og algebraisk topologi. Algebra har også spilt en rolle innenfor ulike områder av anvendt matematikk, for eksempel gjennom anvendelse av gruppeteori i moderne fysikk. Teorien om boolske algebraer er svært viktig for hvordan datamaskiner bygges.
Abstrakt algebra omfatter deler av matematikken som for eksempel gruppeteori, som brukes for å studere symmetri. Et annet eksempel er lineær algebra, som brukes i for eksempel maskinlæring.
Noen eksempler på algebraiske systemer er gruppe, ring, kropp og vektorrom. Slike systemer finnes i alle områdene av matematikk.
Matriser er et sentralt verktøy i lineær algebra og brukes blant annet til matematisk programmering innen samfunnsvitenskap, psykologi og økonomi.
Det ble tidlig gjort forsøk på å formalisere algebraen. For eksempel ble den ukjente kalt hau («mengde») i Ahmes regnebok fra 1700 fvt. I Italia brukte de ordet cosa (tingen) som senere ble til cossregning på engelsk og tysk.
Babylonerne (2000–1500 fvt.) hadde et høyt utviklet system for å løse algebraiske problemer. Ahmes’ regnebok (nå kjent som Papyrus Rhind, 1700 fvt.) gir eksempler på tidlig egyptisk algebra. Greske matematikere var mer opptatt av geometri, men den senere aleksandrinske perioden hadde fremragende algebraikere som Diofantos (cirka 270 evt.). Noe senere oppsto den indiske algebraiske skolen med blant andre Brahmagupta og Bhaskara.
Gjennom arabiske matematikere, som Al-Khwarizmî rundt år 820, smeltet den indiske og greske algebraen sammen. Denne kunnskapen ble senere overført til Vest-Europa, særlig til Italia. Her ble de første store fremskrittene siden den antikke algebraen gjort ved Scipione del Ferro (1465–1526) og Niccolò Tartaglias (1500–1577) løsning av tredjegradsligningen og Lodovico Ferraris (1522–1565) løsning av fjerdegradsligningen. Begge ble først offentliggjort i Girolamo Cardanos Ars Magna (1545). Disse løsningene var oppnådd og beskrevet uten formler. Mer kompliserte problemer krevde en forenkling gjennom et systematisk tegnspråk.
Den franske matematikeren François Viète var den første til å innføre bokstaver for forskjellige størrelser (1591). Det er her den populære betegnelsen bokstavregning for algebra kommer fra. Bruken av de første bokstavene i alfabetet a, b, c for å betegne kjente størrelser og de siste bokstavene x, y, z for ukjente ble tatt i bruk av René Descartes.
Den videre formaliseringen gikk deretter raskt. For eksempel ble de vanlige potens- og rot-betegnelsene innført av Albert Girard, René Descartes og Isaac Newton. I første halvdel av 1800-tallet førte de grunnleggende arbeidene av Carl Friedrich Gauss, Niels Henrik Abel og Évariste Galois til viktige gjennombrudd, særlig innen ligningsteori.
Kommentarer
Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.
Du må være logget inn for å kommentere.